Errores….son importantes en matemáticas?

Muchos puntos de vista acerca de los errores…

Pierre-Simon Laplace suponía que todo está compuesto de átomos y que los movimientos de los átomos se rigen por las leyes que Issac Newton descubrió en el siglo XVII. Laplace imaginaba un demonio súper inteligente y matemáticamente dotado, que conoce la posición y velocidades de todas las partículas del universo en un momento determinado, junto con todas las leyes de la naturaleza. Afirmó que este demonio podía calcular las posiciones y velocidades de todas las partículas en cualquier momento.

El demonio puede predecir donde el cuerpo iba a estar, y cómo se movería el próximo año a partir de su conocimiento de las posiciones y velocidades de las partículas en el universo hace un millón de años.

El demonio de Laplace calcula la forma en que su cuerpo se moverá mañana a partir de las posiciones de las partículas en el pasado, lo que le priva del libre albedrío.

Se piensa comúnmente que la física actual nos dice que las leyes fundamentales de la mecánica cuántica no son deterministas, pero sólo nos dicen probabilidades. Algunos filósofos piensan que esto resuelve el problema del libre albedrío. Pero es controversial decir que la mecánica cuántica no es determinista, e incluso si sus leyes son probabilísticas, es posible que no permitan el libre albedrío. Si no existiera el libre albedrío, si todo estuviera ya escrito y determinado entonces para qué hacer nada? si de cualquier modo pasará…

Heissenberg y la incertidumbre

El principio de incertidumbre nos dice que hay un límite en  la precisión con el cual podemos determinar al mismo tiempo la posición y el momento de una partícula.

Él supuso el siguiente paquete de ondas gaussiano para la función de onda:desarrollando:

y el producto de las indeterminaciones será por tanto:

Es decir, que la incertidumbre en el momento es infinita.

Edward N. Lorenz, atractores extraños y la teoría del Caos.

El término Caos se refiere a una interconexión subyacente que se manifiesta en acontecimientos de la vida cotidiana que son aparentemente aleatorios y desordenados. Por eso el  concepto de caos a menudo puede crear en nosotros una idea negativa, una visión de desorden en donde las cosas no funcionan bien, en un mundo en donde lo establecido y lo correcto es precisamente el orden.

Durante mucho tiempo la noción de que en el universo existía un orden total y continuo fue algo innegable, las teorías de Newton veían al mundo como un compuesto de bloques mecánicos en interrelación, partes separadas de la realidad que respondían a una causa-efecto. De hecho nuestra cultura sigue estando impregnada de este mecanicismo y predictibilidad, intentamos y nos obsesionamos por predecir cualquier fenómeno desde una perspectiva reduccionista. Pero es justamente aquí donde surge el nuevo paradigma, al ver a la realidad como un todo en donde cualquier factor, por pequeño que parezca, puede afectar el comportamiento y la evolución de la naturaleza.

Del entendimiento de estos factores y sus relaciones surge la Teoría del Caos, en la cual existen tres componentes esenciales: el control, la creatividad y la sutileza. El control por dominar la naturaleza es imposible desde la perspectiva del caos, pactar con el caos significa no dominarlos sino ser un participante creativo. Más allá de nuestros intentos por controlar y definir la realidad se extiende el infinito reino de la sutileza y la ambigüedad, mediante el cual nos podemos abrir a dimensiones creativas que vuelven más profundas y armoniosas nuestras vidas.

En este sentido se dice que un sistema visto desde el punto de vista del caos, es decir sistema caótico, es un sistema flexible y no lineal, en donde el azar y lo no predecible juegan un papel fundamental. Un ejemplo de sistema caótico podría ser un río, en donde cada partícula de agua sigue una trayectoria aleatoria e impredecible que sin embargo no rompe con la dinámica establecida en el mismo río.

Podríamos decir entonces que la Teoría del Caos es todo lo anterior y mucho más. Es encontrar el orden en el desorden, y constituye el principal afán de quienes, en los diversos campos de la ciencia, adoptan esta nueva perspectiva. Por ejemplo en la geometría moderna surgen figuras caóticamente raras y bellas como resultado de modelos recursivos que generan comportamientos impredecibles, sin embargo estos conservan un cierto orden. Estas formas son conocidas como fractales.

Hacia 1960, el meteorólogo Edward Lorenz se dedicaba a estudiar el comportamiento de la atmósfera, tratando de encontrar un modelo matemático, un conjunto de ecuaciones, que permitiera predecir a partir de variables sencillas, mediante simulaciones de ordenador, el comportamiento de grandes masas de aire, que le permitiera hacer predicciones climatológicas. Realizó diferentes aproximaciones hasta ajustar el modelo a la influencia de solo tres variables, que expresan a lo largo del tiempo los cambios de la velocidad y la temperatura del aire. Concretó el modelo a tres ecuaciones matemáticas conocidas hoy en día como modelo de Lorenz. Pero luego observó que pequeñas diferencias en los datos de partida (algo aparentemente tan simple como utilizar 3 o 6 decimales) llevaban a grandes diferencias en las predicciones del modelo. De tal forma que cualquier pequeña perturbación, o error, en las condiciones iniciales del sistema puede tener una gran influencia sobre el resultado final.Esto dificultaba las predicciones a largo plazo. Los datos empíricos que proporcionan las estaciones meteorológicas tienen errores inevitables, aunque sólo sea porque hay un número limitado de observatorios incapaces de cubrir todos los puntos de nuestro planeta, así que las predicciones se iban desviando con respecto al comportamiento real del sistema.

Lorenz intentó explicar esta idea mediante un ejemplo hipotético. Sugirió que imaginásemos a un meteorólogo que hubiera conseguido hacer una predicción muy exacta del comportamiento de la atmósfera, mediante cálculos muy precisos y a partir de datos muy exactos. Podría encontrarse una predicción totalmente errónea por no haber tenido en cuenta el aleteo de una mariposa en el otro lado del planeta. Ese simple aleteo podría introducir perturbaciones en el sistema que llevaran a la predicción de una tormenta.De aquí surgió el nombre de efecto mariposa que, desde entonces, ha dado lugar a muchas variantes y recreaciones.

Se denomina, por tanto, efecto mariposa a la amplificación de errores que pueden aparecer en el comportamiento de un sistema complejo. En definitiva, el efecto mariposa es una de las características del comportamiento de un sistema caótico, en el que las variables cambian de forma compleja y errática, haciendo imposible hacer predicciones más allá de un determinado punto, que recibe el nombre de horizonte de predicciones.

El problema número 2 de Hilbert y el teorema de incompletitud de Gödel

El segundo problema de Hilbert pretende probar la compatibilidad de los axiomas de la aritmética. Es decir partiendo de ellos, un número finito de pasos lógicos, nunca puede conducir a resultados contradictorios. El famoso teorema de Gödel, establece que en cualquier sistema simbólico formal es posible construir una proposición que no se puede probar ni refutar  en el mismo sistema.

El teorema de Gödel es equiparable por su importancia a la teoría de la relatividad de Albert Einstein, y es una de las construcciones fundamentales de las matemáticas de todos los tiempos. Gödel utilizó el rigor de las matemáticas para demostrar, sin lugar a dudas, que las matemáticas mismas son incompletas. En su artículo de 1931, Gödel demuestra que en cualquier sistema lógico basado en axiomas y reglas de inferencia, existen enunciados cuya verdad o falsedad no vamos a poder decidir, basándonos en la propia lógica matemática del sistema. Antes de Gödel esto ni siquiera se consideraba, pues lo interesante de un enunciado era poder demostrar que era verdadero o bien era falso. A partir de Gödel aparece una diferencia muy sutil entre verdad/falsedad y demostrabilidad. Su teoréma tiene que ver con enunciados que hacen referencia a sí mismos.

En 1931 Kurt Gödel, un joven matemático austríaco de 25 años, publicó su famoso artículo” Sobre proposiciones formalmente no decidibles en Principia Matemática y sistemas relacionados” y con ello el programa planeado por Hilbert, porque demostró que cualquiera de estos sistemas matemáticos precisos (formales) de axiomas y reglas de inferencia (finitos), siempre que sea lo bastante amplio para contener descripciones de proposiciones aritméticas simples y siempre que esté libre de contradicción, debe contener algunos enunciados que no son demostrables ni indemostrables con los medios permitidos dentro del sistema, Gödel demostró que el mismo enunciado de la consistencia del propio sistema axiomático debe ser una de esas proposiciones indecidibles.

Gödel nos descubrió que la verdad es una categoría superior a la demostrabilidad, y que su argumento nos da la posibilidad, mediante intuición directa, de ir más allá de las limitaciones de cualquier sistema matemático formalizado.

Penrose utiliza el argumento de Gödel para demostrar el funcionamiento no algorítmico de la mente. El sistema matemático más perfecto que podamos conseguir, con un número finito de axiomas y reglas de inferencia, es incapaz por principio de probar la verdad/falsedad de enunciados que nosotros, desde fuera del sistema, advertimos sin demasiada dificultad.

Un ordenador basado en la programación automática que conocemos, a base de algoritmos matemáticos, tiene una limitación fundamental independiente de que el programa sea mejor o peor o que su memoria y capacidad de cálculo sean de mayor o menor potencia.

– Referencia:

http://www.juevesfilosofico.com/el-demonio-de-laplace-el-determinismo-y-el-libre-albedrio/#sthash.yDSN2xoK.dpuf

http://www.nucleares.unam.mx/~vieyra/node20.html

http://influenciaderrores.wordpress.com/2013/03/25/edward-n-lorenz-atractores-extranos-y-la-teoria-del-caos/

http://influenciaderrores.wordpress.com/2013/03/25/el-problema-no-2-de-hilbert-y-el-teorema-de-incompletitud-de-godel/

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